Το έργο αυτό αναφέρεται σε έννοιες και σχέσεις που συνδέονται με μια σειρά θεμάτων των μαθηματικών του λυκείου, τα οποία εμφανίζονται διασκορπισμένα σε διάφορες ενότητες των μαθηματικών ή της φυσικής και στις τρεις τάξεις. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει μάθημα ή ενότητα μαθήματος σε όλο το λύκειο που να διαπραγματεύεται το σχετικό θέμα. Έτσι, η ανάπτυξη που επιλέξαμε έχει τρεις άξονες: (α) Να δώσει την ευκαιρία στους μαθητές της Γ΄ Λυκείου να συνθέσουν και να οργανώσουν τις υπάρχουσες γνώσεις και εμπειρίες τους, που αφορούν τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, στο πλαίσιο των τριών μαθημάτων: μαθηματικά, φυσική και πληροφορική (ανάπτυξη εφαρμογών σε προγραμματιστικό περιβάλλον) της Γ΄ Τάξης, (β) Να τους δώσει την ευκαιρία να προσεγγίσουν έννοιες και σχέσεις των μαθηματικών που διδάσκονται στην Γ΄ Τάξη (συναρτήσεις, μιγαδικοί αριθμοί) μέσα από μια διαδικασία γραμμικών και μη μετασχηματισμών, (γ) Να τους παρέχει τη δυνατότητα να προσεγγίσουν νέους κόσμους των μαθηματικών που δημιουργούνται με εργαλεία τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς.

Περιγραφή

Το θέμα της εργασίας αυτής είναι οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και οι εφαρμογές τους στο πλαίσιο του σημερινού λυκείου. Η αξία και η σημασία των γεωμετρικών μετασχηματισμών στη διδασκαλία των μαθηματικών έχει αναγνωριστεί ευρύτατα από την επιστημονική κοινότητα. Παρά ταύτα, στο πρόγραμμα σπουδών και στη διδακτική ατζέντα των εκπαιδευτικών δεν έχει ακόμα συμπεριληφθεί επαρκώς η μελέτη των ιδιοτήτων και των εφαρμογών των γεωμετρικών μετασχηματισμών. Πολλοί παιδαγωγοί ισχυρίζονται ότι ένας από τους λόγους της διστακτικής παρουσίας των μετασχηματισμών στη διαδικασία μάθησης και διδασκαλίας των μαθηματικών είναι η έλλειψη εποπτείας των εννοιών και των διαδικασιών που σχετίζονται με τους μετασχηματισμούς. Η εποπτική αδυναμία των μαθητών θα μπορούσε να υποκατασταθεί με τη χρήση των κατάλληλων μέσων με τα οποία θα μπορούν να πειραματίζονται, να διεξάγουν και να διαμορφώνουν δραστηριότητες, με στόχο την κατανόηση των ιδιοτήτων των μετασχηματισμών και της χρηστικής τους αξίας σε πολλαπλά πεδία εφαρμογών.

Αν υποθέσουμε ότι πριν από μερικά χρόνια οι αιτιάσεις αυτές είχαν κάποιο νόημα, σήμερα η ύπαρξη ισχυρών εκπαιδευτικών λογισμικών παρέχει τη δυνατότητα διερεύνησης των ιδιοτήτων και των εφαρμογών των μετασχηματισμών με απλό και κατανοητό τρόπο. Επιπλέον, τα ίδια τα λογισμικά επιτρέπουν στους μαθητές να διαπιστώσουν την παρουσία των μετασχηματισμών και σε άλλα μαθήματα, όπως είναι η φυσική και η πληροφορική. Έτσι, οι μαθητές αντιλαμβάνονται το διαθεματικό ρόλο που διαδραματίζουν οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, αλλά και τα μαθηματικά γενικότερα.

Στόχος της εργασίας που προτείνουμε είναι να αναδείξει και να αξιοποιήσει, διεξάγοντας πολλές και πολλαπλές εφαρμογές, μερικές από τις δυνατότητες που παρέχουν τα υπολογιστικά εργαλεία στη διδασκαλία και τη μάθηση των μετασχηματισμών. Επιπλέον, επιδιώκουμε να δείξουμε στους εκπαιδευτικούς εναλλακτικούς τρόπους διδασκαλίας και εφαρμογών, που, κατά την άποψή μας, θα ενισχύσουν την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας τους· επιδίωξη που εδράζεται, μεταξύ των άλλων, και στην ίδια τη φύση των μετασχηματισμών. Ας παραθέσουμε μερικά από τα πιο γνωστά επιχειρήματα:

1. Οι μαθητές έχουν βιωματικές εμπειρίες με τους μετασχηματισμούς. Καθημερινά σχεδόν σκέφτονται με τη βοήθειά τους, μεταφράζουν μία λέξη από τη μια γλώσσα στην άλλη, μεταφέρουν μία εικόνα από το ένα χαρτί στο άλλο, κάνουν μεγέθυνση ή σμίκρυνση σε αντικείμενα, προκειμένου να τα μελετήσουν καλύτερα, συζητάνε για την περιστροφή αντικειμένων γύρω από ένα κέντρο ή άξονα, κινούνται αλλάζοντας θέση στο χώρο κ.ά.
2. Οι διαδικασίες των μετασχηματισμών είναι βαθιά ριζωμένες στον πολιτισμό και στη γλώσσα μας. Οι όροι μεταφορά, διαστολή, συστολή, μεγέθυνση, σμίκρυνση, στροφή, περιστροφή κ.ά. χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν διαδικασίες μεταβολών-μετασχηματισμών. Με άλλα λόγια, οι μετασχηματισμοί συνιστούν πολιτιστικά εργαλεία –με την έννοια που θέτει ο Vygotsky– και επομένως ανήκουν στην κουλτούρα των μαθητών και των εκπαιδευτικών. Η ένταξη των μετασχηματισμών στη διδακτική και μαθησιακή διαδικασία με πιο συστηματικό τρόπο θα αναδείξει το διαθεματικό τους ρόλο στη μελέτη των επιστημών και θα βοηθήσει τους μαθητές να επεκτείνουν τις δυνατότητές τους στη μαθηματικοποίηση της σκέψης τους.
3. Οι μετασχηματισμοί εμφανίζονται σε όλα σχεδόν τα γνωστικά αντικείμενα και στις διαδικασίες των μαθηματικών. Για παράδειγμα, για να λύσουμε την εξίσωση χ3-χ2+χ-1=0 κάνουμε μετασχηματισμό της σε μια άλλη, ισοδύναμη, εξίσωση την οποία μπορούμε να λύσουμε, εφαρμόζοντας κάποιο κανόνα: Μετατρέπουμε το πρώτο μέρος της εξίσωσης σε γινόμενο παραγόντων και ανάγουμε τη λύση της στην ισοδύναμη εξίσωση (χ-1)(χ2+1)=0. Η «παραγοντοποίηση» είναι μια διαδικασία μετασχηματισμού της αρχικής εξίσωσης σε μια άλλη, ισοδύναμη, εξίσωση, κατάλληλη για επίλυση. Έτσι, η αξιοποίηση των μετασχηματισμών για την επίλυση προβλημάτων παρέχει ένα μεγάλο αριθμό εργαλείων για τη διερεύνηση, τον πειραματισμό και τη μελέτη των μαθηματικών αντικειμένων.

Στις ενότητες του βιβλίου μελετάμε τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς και τις εφαρμογές τους στη μελέτη των συναρτήσεων, αλλά και στην περιγραφή και ανάλυση των φυσικών φαινομένων. Επίσης, καθώς οι μετασχηματισμοί δεν είναι τίποτα άλλο από διαδικασίες, εξετάζουμε πώς μπορούμε να τους περιγράψουμε με τη βοήθεια μιας γλώσσας προγραμματισμού, όπως είναι η Logo και η Pascal. Κατόπιν προσπαθούμε να δώσουμε απαντήσεις σε ερωτήματα, όπως:

• Τι είναι ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός και ποιος είναι ο ρόλος του στη μάθηση των εννοιών και των σχέσεων στα μαθηματικά;
• Πώς μπορούμε να αξιοποιήσουμε τις ιδέες των γεωμετρικών μετασχηματισμών στη μελέτη των φυσικών φαινομένων;
• Τι είδους εντολές πρέπει να χρησιμοποιήσουμε και με ποια σειρά, ώστε να αναπαραστήσουμε τις διαδικασίες των γεωμετρικών μετασχηματισμών σε ένα υπολογιστικό προγραμματιστικό περιβάλλον;

Οι απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά προσεγγίζονται μέσα από τις εφαρμογές που περιέχονται στο βιβλίο. Ωστόσο, μπορούν να προσεγγιστούν και από αντίστοιχες εφαρμογές που θα δημιουργήσει ο ίδιος ο αναγνώστης-εκπαιδευτικός. Από αυτή την οπτική γωνία, το βιβλίο μπορεί να λειτουργήσει και ως έναυσμα ή βιβλιοθήκη ιδεών για τη δημιουργία νέων, καινοτόμων εφαρμογών.

Το βιβλίο διαιρείται σε εννιά ενότητες (εκπαιδευτικά σενάρια) και αποσκοπεί στο να οδηγήσει το μαθητή σταδιακά από τους απλούστερους στους πιο σύνθετους μετασχηματισμούς.

Τα φύλλα εργασίας καθοδηγούν τους μαθητές στη διεξαγωγή βασικών δραστηριοτήτων σε κάθε ενότητα. Οι εφαρμογές και οι αντίστοιχες δραστηριότητες στη φυσική και την πληροφορική συναρτώνται με τη μελέτη των γεωμετρικών μετασχηματισμών που έχει προηγηθεί. Έτσι, στις εφαρμογές αυτές οι μαθητές χρησιμοποιούν τις γνώσεις που έχουν αποκτήσει από τη μαθηματική διερεύνηση των γεωμετρικών μετασχηματισμών. Για το λόγο αυτό μην αμελείτε να ολοκληρώνετε μια ενότητα με τις σχετικές εργασίες και δραστηριότητες.

Τα λογισμικά Cabri Geometry II Plus, Modellus και Αβάκιο και τα προγραμματιστικά περιβάλλοντα Logo και Pascal, με τα οποία θα διεξάγετε τις προτεινόμενες δραστηριότητες, εξασφαλίζουν το κατάλληλο περιβάλλον για να μπορέσουν οι μαθητές να ανιχνεύσουν τις ιδιότητες των γεωμετρικών μετασχηματισμών που μελετούν. Στο πλαίσιο αυτό μπορείτε να καθοδηγήσετε τους μαθητές να απαντήσουν στα ερωτήματα των φύλλων εργασίας, αλλά και να συγκροτήσετε δικές σας δραστηριότητες, να θέσετε ερωτήματα και να εφαρμόσετε δικές σας ιδέες, υποθέσεις και εφαρμογές. Έτσι, οι μαθητές θα μπορέσουν να διερευνήσουν τις ιδιότητες των γεωμετρικών μετασχηματισμών σε βάθος και να αποκτήσουν πολύπλευρες γνώσεις γύρω από αυτούς.

Προαπαιτούμενες εφαρμογές

Για να μπορέσετε να δείτε και να εκτυπώσετε τα συνοδευτικά εγχειρίδια (συμπεριλαμβάνονται και τα φύλλα εργασίας) θα χρειαστείτε τον Adobe Reader (έκδοση 5.0 ή μεταγενέστερη). Το λογισμικό αυτό διατίθεται ελεύθερα κι έχει συμπεριληφθεί στο φάκελο Other του CD-ROM.

Τα σενάρια των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων του πακέτου χρησιμοποιούν αρχεία που έχουν κατασκευαστεί με τα λογισμικά: Cabri Geometry II Plus, Modellus, Περιβάλλον E-SLATE (Αβάκιο) και Free Pascal. Τα δύο πρώτα από τα λογισμικά είναι ήδη διαθέσιμα σε όλα τα σχολεία, ενώ τα υπόλοιπα έχουν συμπεριληφθεί στο φάκελο Other του CD-ROM.

Πιστοποιημένο από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο

Ελάχιστες απαιτήσεις συστήματος

Windows 98/NT/2000/Me/XP/Vista, Pentium III 500Mhz, 32MB μνήμη RAM, CD-ROM 4x, Internet Explorer ή Mozilla Firefox.